Explorando las ecuaciones de Navier-Stokes: todo lo que necesitas saber.

Las ecuaciones de Navier-Stokes, en física, corresponden a un conjunto de ecuaciones altamente complejas en términos de derivadas parciales de carácter no lineal, las cuales son utilizadas para hacer una descripción minuciosa del movimiento que presenta un fluido viscoso. Dichas ecuaciones se deben su nombre tanto al famoso ingeniero y físico francés, Claude-Louis Navier, como al prestigioso físico y matemático, George Gabriel Stokes, quien es de origen inglés e irlandés. Por lo general, estas ecuaciones son utilizadas para estudiar y analizar variados escenarios de gran relevancia en la Tierra, como lo son la dinámica de la atmósfera, las corrientes marinas, el movimiento que muestra una cabalgadura al desplazarse o el flujo que se produce alrededor de vehículos y/o proyectiles. En términos generales, se puede afirmar que estas ecuaciones son de vital importancia, ya que son capaces de explicar de manera satisfactoria cualquier fenómeno donde se encuentren implicados fluidos newtonianos.

Conservación de la masa

No obstante, puede resultar más conveniente expresar la ecuación utilizando volúmenes de control que se muevan a nuestro antojo. Para ello, aplicaremos el Teorema de Transporte de Reynolds a un volumen genérico V^{*}(t) que se mueve con velocidad (vec{b}) (se debe notar que ya no podemos igualarla a cero, ya que este no es nuestro "bloque" de fluido que se mantiene con masa constante, sino un volumen de control arbitrario).

Casos particulareseditar

En caso de que el fluido tenga una viscosidad igual a cero (es decir, μ = 0), las ecuaciones resultantes reciben el nombre de ecuaciones de Euler, las cuales se emplean para estudiar fluidos compresibles y ondas de choque.

Por otro lado, si el fluido es viscoso pero incomprimible, entonces se puede considerar que la densidad, ρ, es constante (como en un líquido) y las ecuaciones resultantes son las siguientes:

Importancia de conservar la cantidad de movimiento para mantener la inercia de un sistema

Al analizar el volumen material, es posible separar las fuerzas aplicadas en dos categorías: las que actúan en las paredes del fluido por unidad de superficie y las que lo hacen uniformemente sobre todo el volumen del mismo (limitado únicamente a la gravedad a nivel didáctico).

De este modo, se puede llegar a la siguiente ecuación integral:

( displaystyle int_{V(t)}dfrac{partial (rho cdot vec{u}) }{partial t} dV + oint_{A(t)} rho cdot vec{u} cdot (vec{u} cdot vec{n}) dA= oint_{A(t)} vec{t_{n}} dA + int_{V(t)} rho vec{g} dV )

Si deseamos aplicar esta ecuación a un volumen de control arbitrario, (V^{*}(t)), en movimiento con una velocidad de (vec{b}), se debe seguir un procedimiento similar al empleado en la conservación de masa. Al hacerlo, se obtiene la siguiente expresión general:

(displaystyle frac{d}{dt} int_{V^{*}(t)} rho dV + oint_{A^{*}(t)} rho vec{u} cdot vec{n} dA = int_{V^{*}(t)} rho vec{g} dV + oint_{A^{*}(t)} vec{t_{n}} dA + int_{V^{*}(t)} rho vec{b} dV )

Soluciones mediante ecuaciones a desafíos comunes en el flujo de fluidos

En este apartado, examinaré situaciones reales que se simplifican para ser analizadas mediante ecuaciones simplificadas en mecánica de fluidos. Es importante recordar que existen dos formulaciones, una integral y otra diferencial, y se debe elegir una u otra en función de las peticiones. En cuanto a las fuerzas, destaca que el término asociado a las fuerzas bajo la formulación se refiere a las fuerzas ejercidas sobre el fluido, lo que, por acción-reacción, se traduce en fuerzas que el fluido ejerce sobre el cuerpo en contacto en sentido opuesto. Este aspecto es esencial en los problemas que veremos a continuación. A modo de ejemplo, analizaremos un flujo estacionario (con derivada de tiempo nula) entre dos láminas infinitas en un canal, en el cual se nos pide obtener el perfil de velocidades. Se asume un gradiente de presiones en dirección al eje de movimiento, constante para garantizar un flujo estacionario en régimen permanente: (dfrac{partial P}{partial x} = – bigtriangleup P).

Impredictibilidad incluso sin mariposas

La dinámica de un fluido se rige por ecuaciones de Navier-Stokes, las cuales, en teoría newtoniana, deberían predecir su movimiento futuro a partir de su estado inicial. Sin embargo, tras más de un siglo de esfuerzos, no se ha podido demostrar ni refutar matemáticamente este determinismo. En este artículo, se presenta una visión general sobre las ecuaciones de Navier-Stokes, uno de los problemas del milenio.

En 2016, el huracán Matthew sorprendió al Caribe, causando estragos y destrucción en su camino. A pesar de su magnitud, solo se pudo predecir cuatro días antes de su llegada, con una probabilidad del 70%. En la imagen, se observa el huracán el 4 de octubre de 2016. / NASA Earth Observatory / Joshua Stevens

Una de las mayores virtudes de la ciencia es su capacidad predictiva. Un gran ejemplo de ello es la mecánica celeste, que permite predecir, por ejemplo, que el 14 de mayo de 2887 habrá un eclipse anular de Sol visible desde mi ciudad justo después del amanecer.

Ley de Conservación de Reynolds en el Transporte de Fluidos

El teorema de transporte de Reynolds es una herramienta utilizada para calcular la variación temporal de integrales en volúmenes de control que cambian con el tiempo. Representa una ampliación tridimensional del Teorema Fundamental del Cálculo.

Imaginemos un volumen de control V^*(t) encerrado por una superficie continua cerrada A^*(t) que, en el instante t, coincide con un volumen de fluido V(t). Tras un intervalo de tiempo Δ,t, el volumen V^*(t) se desplaza con una velocidad b en sus paredes, donde b es un vector tangente a la superficie en un punto determinado. Su vector normal exterior se define como n.

Ahora, vamos a describir la derivada temporal de la integral de la magnitud en el volumen de control V^*(t) en términos de límites:

Conceptos previoseditar

Importancia de la derivada sustancial en el estudio de los fluidos

En el análisis del movimiento de los fluidos, se suele utilizar la descripción euleriana, en la que la derivada del tiempo ordinaria ∂ϕ/∂t ya no representa completamente el cambio en una determinada propiedad del fluido ϕ por unidad de tiempo. Esto se debe al movimiento del fluido en sí. Para reflejar adecuadamente esta variación, se emplea la derivada sustancial, también conocida como derivada siguiendo la partícula fluida.

La derivada sustancial se define como el operador:

∂ϕ/∂t + v∇ϕ

donde v es la velocidad del fluido y ∇ϕ representa la derivada local en un punto fijo del espacio. Como su nombre lo indica, la derivada local calcula la variación de la propiedad del fluido en un punto específico, mientras que la derivada convectiva, representada por v∇ϕ, mide la variación de la propiedad asociada al cambio de posición de la partícula fluida.

Este concepto fue demostrado por José Echegaray, y su aplicación en el cálculo de propiedades extensivas se conoce como el teorema del transporte de Reynolds:

∂V/∂t + ∇∙(Vv) = 0

Este teorema establece una analogía entre la variación de una magnitud fluida en una partícula y en un volumen infinitesimal, lo que permite un análisis más completo del comportamiento de los fluidos.

Las ecuaciones de NavierStokeseditar

En el contexto de estas fórmulas, ρ corresponde a la densidad de un cuerpo, ui (i = 1,2,3) son las magnitudes de velocidad según los ejes cartesianos, Fi representa el campo de aceleraciones resultante de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo, como por ejemplo la gravedad, P es la presión del fluido y μ la viscosidad dinámica. [cita requerida]

La ecuación de la divergencia del fluido se define como Δ = eii, y la delta de Kronecker es representada por δij. La derivada total, también conocida como derivada material temporal , se expresa como D / Dt.

La no linealidad de estas ecuaciones radica precisamente en el término correspondiente a la derivada total. Cuando μ es constante en todo el fluido, las ecuaciones de fluidos se simplifican de la siguiente manera:

La incorporación de las ecuaciones de NavierStokes en el desarrollo de videojuegos

Las ecuaciones de Navier - Stokes son ampliamente utilizadas en la industria de los videojuegos para recrear diferentes fenómenos naturales de manera simulada. Una de las aplicaciones más populares es en la simulación de fluidos gaseosos a pequeña escala, como el fuego o el humo. Para esto, muchos desarrolladores se basan en el aclamado artículo "Real-Time Fluid Dynamics for Games" de Jos Stam[1]​, el cual expande uno de sus artículos anteriores más famosos, "Stable Fluids"[2] de 1999. En este trabajo, Stam propone un nuevo método para simular fluidos estables utilizando una solución basada en las ecuaciones de Navier - Stokes de 1968 y un esquema de advección...

Las últimas implementaciones de este método se ejecutan en las unidades de procesamiento de gráficos (GPU) en lugar de la unidad central de procesamiento (CPU) de una computadora, obteniendo un rendimiento mucho mayor[3]​[4]​. Además, se han propuesto diversas mejoras al trabajo original de Stam, ya que se ha identificado que presenta una alta disipación numérica en la velocidad y masa para su simulación.

Si estás interesado en aprender más sobre la simulación de fluidos interactiva, te recomendamos el curso "Fluid Simulation for Computer Animation" (Simulación de fluidos para animación por computadora) dictado en la Association for Computing Machinery SIGGRAPH en 2007[5]​. Con esto podrás tener una introducción a esta técnica y su aplicación en el mundo de los videojuegos.

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