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La Axiomática en las Ciencias: Métodos y Conceptos

Conocido como un principio fundamental, un axioma es una afirmación admitida dentro de un marco teórico, desde la cual se fundamentan otros argumentos y proposiciones derivadas de dichas premisas.[1]

Lógicaeditar

La base fundamental del axioma es su premisa verdadera por sí misma, la cual es utilizada para inferir otras proposiciones a través de un método deductivo. Este procedimiento resulta en conclusiones coherentes con el axioma original. Todos los demás enunciados de una teoría son deducidos a partir de los axiomas y las reglas de inferencia.

Los axiomas son fórmulas que poseen una validez universal en un lenguaje formal. Esto significa que son satisfechas por cualquier estructura y por cualquier función variable. En términos simples, son enunciados verdaderos en cualquier mundo posible, bajo cualquier interpretación posible y con cualquier asignación de valores. Por lo general, se elige un conjunto mínimo de tautologías como axiomas para demostrar una teoría.

Cada uno de estos patrones es un esquema de axiomas que permite generar un número infinito de estos enunciados. Por ejemplo, si p, q y r son variables proposicionales, entonces p→(q→p){displaystyle pto (qto p),} y (p→¬q)→(r→(p→¬q)){displaystyle (pto neg q)to (rto (pto neg q)),} son instancias del esquema 1 y, por lo tanto, pueden considerarse como axiomas.

Matemáticaseditar

En el mundo de las matemáticas, para que una idea sea considerada como verdadera, debe estar fundamentada en axiomas o demostrarse a partir de ellos. Los axiomas son, por lo tanto, los cimientos esenciales en todas las ramas de las matemáticas. A través de demostraciones matemáticas, se puede verificar la veracidad de cualquier afirmación.

Los axiomas son declaraciones aceptadas como ciertas y que no pueden ser demostradas a partir de otros axiomas. No importa si parecen obvias o intuitivas, como es el caso del axioma de elección, que no es trivial.

Por otro lado, los teoremas son afirmaciones que deben demostrarse utilizando axiomas u otros teoremas previamente probados. Cuando una idea se sigue directamente de un teorema, se le conoce como corolario.

Restricciones de los sistemas axiomáticoseditar

A mediados del siglo XX, Kurt Gödel sorprendió al mundo con sus célebres teoremas de incompletitud. Estas demostraciones revelaron que, incluso si un sistema de axiomas recursivo es coherente y está bien definido, los sistemas axiomáticos que se basan en ellos presentan limitaciones críticas. Es crucial destacar que esta restricción solo se aplica a los sistemas de axiomas recursivamente enumerables, lo que significa que el conjunto de axiomas debe poder ser listado mediante una codificación o godelización. Esta condición técnica es necesaria debido a que, si el conjunto de axiomas no es recursivo, la teoría en sí no puede ser decidida.

Con esta restricción en mente, Gödel demostró que, si una teoría tiene un modelo con cierto grado de complejidad, siempre habrá una proposición P que es verdadera pero no es demostrable. En otras palabras, Gödel demostró que en cualquier sistema formal que incluya aritmética, es posible construir una proposición P que afirma que el enunciado en cuestión no puede ser demostrado.

Definición

El axioma fue concebido en la antigua Grecia, durante el período helenístico. Se basaba en la idea de que ciertas explicaciones o postulados podían ser aceptados por su fundamentación evidente, lo que luego se conocería como consenso científico. Sin embargo, en aquel entonces, esta noción de un conocimiento primordial y claro era considerada verdadera, de forma similar a como hoy se aceptan las leyes físicas más fundamentales.

Con el tiempo, la ciencia progresó y junto con ella evolucionó el concepto de axioma. Su aplicación en las áreas del razonamiento lógico y las matemáticas fue uno de los primeros esfuerzos de la filosofía de las ciencias para determinar qué podía ser considerado como "conocimiento científico". Su introducción permitió la formulación de teorías y conjuntos de postulados más complejos, ya que delimitaban un campo específico para la descripción de los fenómenos.

Hoy en día, el axioma se reconoce principalmente por su utilidad metodológica en la creación de conocimiento, en lugar de ser considerado una representación evidente de la realidad. Su estatus varía dependiendo de la disciplina, pero su función más importante sigue siendo la de "andamio" para construir teorías y sistemas axiomáticos mediante la demostración de otras proposiciones.

Sistemas axiomáticos

Los sistemas axiomáticos son conjuntos de axiomas que establecen la configuración y limitan los postulados de las teorías científicas, sin importar la disciplina en cuestión. Estos axiomas son los principios más simples o los elementos fundamentales, y además representan los vínculos entre los componentes de un conjunto dado de ideas y conceptos.

Los sistemas axiomáticos operan mediante deducciones, las cuales permiten demostrar teoremas y sus implicancias generales en el campo del conocimiento. Por ejemplo, en el caso de las leyes de Newton de la Mecánica Clásica, que describen el comportamiento de las leyes físicas en cuerpos en movimiento. Estos sistemas son de particular importancia en áreas que abarcan ciencias exactas como la física, las matemáticas y la astronomía, aunque no son exclusivos de ellas.

Características del método axiomático

En el estudio de ciencia, las teorías se forman a partir de los axiomas y sus relaciones. Dichas teorías se conocen como teoremas y son consideradas como conclusiones definitivas, siempre y cuando los axiomas sean precisos y concuerden con la realidad.

Es importante destacar que los teoremas son deducciones lógicas que se obtienen a partir de los axiomas. Estos últimos son considerados como verdades fundamentales en cierto campo de estudio y, por tanto, los teoremas están enlazados directamente a ellos.

En otras palabras, los teoremas son el resultado de la aplicación de la lógica y el razonamiento sobre los axiomas en el contexto de la investigación científica. Estas afirmaciones, al ser fundamentadas en axiomas sólidos, se consideran como verdades irrefutables.

Por lo tanto, los teoremas son la prueba científica de la validez de los axiomas y su adaptación a la realidad. Al demostrar que los axiomas son ciertos, se confirma la importancia de su papel en la construcción del conocimiento en un área determinada.

Legado helénicoeditar

Uno de los mayores logros de los matemáticos de la antigua Grecia fue la capacidad de expresar afirmaciones y teoremas matemáticos de manera lógica y coherente a partir de un reducido número de axiomas o postulados muy simples. Estos famosos axiomas de la geometría o reglas de la aritmética establecen las relaciones entre objetos básicos como los números enteros y los puntos geométricos. Estos objetos matemáticos se crearon como abstracciones o idealizaciones de la realidad física. Los axiomas, ya sea aceptados como "evidentes" desde un punto de vista filosófico o simplemente como altamente probables, son aceptados sin necesidad de demostración.

El método lógico-deductivo, desarrollado por los antiguos griegos, se ha convertido en el fundamento de las matemáticas modernas. A partir de las premisas (conocimientos previos), se llega a conclusiones (nuevos conocimientos) mediante argumentos sólidos como los silogismos o las reglas de inferencia. Sin embargo, sin supuestos básicos no se puede deducir nada. Por ello, los axiomas y postulados son esenciales y se aceptan sin necesidad de demostración. Todas las demás afirmaciones, como los teoremas matemáticos, deben ser demostradas a partir de estos supuestos básicos.

Los antiguos griegos veían la geometría como una de las ciencias fundamentales y equiparaban los teoremas geométricos a los hechos científicos. Por ello, desarrollaron y utilizaron el método lógico-deductivo como una herramienta para evitar errores y para estructurar y comunicar el conocimiento. La obra "Segundos analíticos" de Aristóteles es considerada como una exposición definitiva del punto de vista clásico en este aspecto.

Alcance del término

En el ámbito de las matemáticas durante la era helenística, los axiomas se presentaron como normas y relaciones lógicas que describían los comportamientos más básicos. Por otro lado, en la lógica y, en particular, en el modelo hipotético-deductivo del siglo XX, el axioma se definió como la base fundamental del razonamiento: una proposición lógica independiente de cualquier otra.

En matemáticas, existen los axiomas lógicos, es decir, proposiciones o afirmaciones que se consideran válidas en base al conjunto de axiomas en los que se basan. La construcción axiomática en esta ciencia permite la deducción de nuevos conocimientos a partir de la demostración de teoremas. Estos últimos, a su vez, representan estructuras de comportamiento abstracto entre elementos reales, como el famoso Teorema de Pitágoras o la Teoría de Conjuntos.

La construcción y extrapolación matemática a partir de postulados es esencial para el álgebra, disciplina que estudia las operaciones aritméticas como adición, sustracción, multiplicación, entre otras. Los axiomas son las reglas mínimas que no dependen de otros axiomas y existe un conjunto de ellos que sustentan toda la matemática conocida, por ejemplo, los Axiomas de Peano para la aritmética.

Ejemplo de método axiomático

En nuestra opinión, la mejor forma de comprender los conceptos es imaginándolos mentalmente a través de ejemplos. Es especialmente útil cuando se trata de un concepto abstracto como el método axiomático, que sirve como base para la teoría de la probabilidad.

Por lo tanto, para ilustrar mejor el método axiomático, presentaremos un ejemplo claro y sencillo. Y una vez entendamos este ejemplo, abordaremos un ejemplo real de cómo se aplica el método axiomático en la teoría de la probabilidad.

Uno de los casos más simples de sistema axiomático es el que se utiliza en la teoría de la probabilidad, donde se destacan los axiomas de Kolmogorov entre otros.

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