Descubre todo sobre la parábola horizontal y vertical solución ejemplos y ejercicios

Para obtener la expresión (3) a partir de las fórmulas regulares (1) o (2), basta con trasladar todos los elementos hacia la parte izquierda de la ecuación.

Definición de parábola

Definición de la parábola: La parábola es un conjunto de puntos que cumplen con una propiedad geométrica específica, y no como la representación gráfica de una función cuadrática como se ha visto hasta ahora. Esto significa que hay infinitos puntos que pueden estar en una parábola, siempre y cuando cumplan con la propiedad definida.

El eje focal es el eje de simetría de la parábola, y se encuentra perpendicular a la directriz, pasando por su foco. Es decir, si se traza una línea que pase por el foco y sea perpendicular a la directriz, esta será el eje focal.

Para nuestro esquema, definimos las coordenadas del vértice como (Vleft( {0,0} right)), las del foco como (Fleft( {c,0} right)) y la recta directriz como (r:x = – c). Además, las coordenadas de un punto genérico Q que pertenece a la directriz son (left( { – c,y} right)). Esto muestra que la ubicación del foco, la directriz y el vértice son elementos esenciales en la definición de la parábola.

Fórmula común de la parábola

¿Qué forma tendría la ecuación de la parábola en el plano (xy)? En este momento, no tenemos una respuesta clara. Sin embargo, si creamos un sistema de coordenadas nuevo con origen en (V), la ecuación canónica en este sistema sería:

Cómo escribir la ecuación de una parábola en el sistema de coordenadas (xy)? No contamos con una respuesta aún. Pero si establecemos un sistema con el punto (V) como origen, la ecuación canónica en dicho sistema sería:

Transformando la forma estándar a la forma general de una ecuación

¿Qué curva se forma al unir los puntos que satisfacen esta ecuación? Si nos fijamos en que solo una de las variables está elevada al cuadrado, podemos deducir que se trata de una parábola. El modelo que obtenemos es el siguiente:

Hemos comprobado que cualquier parábola con su eje paralelo al eje x, puede ser representada mediante una ecuación de la forma ({y^2} + Dx + Ey + F = 0).

¿Qué valor de (k) corresponde a una parábola cuyo vértice se sitúa sobre la recta (y = 6)? Para el (k) obtenido, identifiquemos el vértice, el foco y la directriz. Presentemos en un gráfico.

Elementos de una parábola

La importancia del signo del parámetro en las ecuaciones de parábolas

En las parábolas verticales, el signo del parámetro determina la dirección de apertura de la curva. Si este es positivo, la parábola se abrirá hacia arriba, mientras que si es negativo, se abrirá hacia abajo.

De manera análoga, en las parábolas horizontales, el signo del parámetro indicará si la curva se abrirá hacia la derecha o hacia la izquierda. Un valor positivo resultará en una apertura hacia la derecha, mientras que un valor negativo producirá una apertura hacia la izquierda.

Es fundamental tener en cuenta que el vértice siempre se encuentra en el centro entre el foco y la directriz. El orden de estos tres elementos es F-V-D o D-V-F, donde V representa al vértice.

Recordatorio: El vértice siempre está ubicado entre el foco y la directriz, en el orden F-V-D o D-V-F.

Ecuación de la parábola

La fórmula de la parábola puede variar según su eje de simetría, ya sea vertical u horizontal. Si el eje es vertical, la variable dependiente será y y tendrá un término en x². En cambio, si es horizontal, la variable dependiente será x y tendrá un término en y².

Tomando como ejemplo una parábola con su imagen diagonal, en la que su eje es horizontal (representado por el eje X de las abscisas), el vértice se encuentra en el centro de coordenadas V (0, 0), y la parábola se ubica en la región positiva de las x. En este caso, el foco se localizará en F (p/2, 0), a la derecha del vértice. Además, su ecuación de la directriz, representada por la recta D, será x = –p/2 ya que tanto la directriz como el foco están equidistantes del vértice.

Los vectores radio FP y PM, correspondientes a cualquier punto P de la parábola (definido por su simetría), tendrán una longitud que se calcula mediante la siguiente ecuación:

Ejercicios resueltos

Para encontrar la ecuación de la parábola deseada, debemos considerar que su eje es paralelo al eje de las abscisas OY y que pasa por el punto P (4,0). Además, su vértice se encuentra en V (2,-1).

La ecuación que buscamos es la siguiente: x = 2, ya que como la ordenada del vértice es 2, el eje de la parábola, que es paralelo a OY, tendrá esa misma coordenada.

Debido a que el parámetro p = 2, la recta directriz estará a p/2 del vértice, lo que significa que su ecuación será y = -1 –p/2 = -2. Esta recta es perpendicular al eje E y también es paralela al eje de ordenadas OX.

Representación gráfica

Utilizando valores para la variable x en la expresión mencionada previamente, podrás obtener los valores correspondientes para la variable y, generando así una serie de puntos (x,y) que podrás representar en un plano. A continuación, te presentamos algunas consideraciones que pueden facilitar tu representación gráfica:

- Una parábola siempre intersecta al eje y en algún punto, que llamaremos (xcy,ycy). En este punto, la coordenada x es siempre cero, es decir, xcy=0. Para encontrar este punto, simplemente hacemos x igual a cero en la expresión de la parábola y observamos el valor resultante para y.

- Una parábola puede cruzar el eje x en dos, uno o ningún punto. Estos puntos de intersección, que denotaremos como (xcx,ycx), siempre tienen una coordenada y igual a cero, es decir, (xcy,0). Para hallar la coordenada x, sustituimos y por cero en la expresión de la parábola y resolvemos la ecuación resultante de segundo grado.

Interacciones con los lectores

Cómo hallar la resolución de una parábola situada entre dos torres de 50 metros de altura, con el vértice a 10 metros del suelo y una cuerda de 80 metros de longitud, separadas por una distancia x.

Requiero asistencia para resolver el siguiente problema: una parábola cuyo vértice se encuentra en el origen E, intersecta a la recta x+4y-9=0 en un punto donde su abscisa es la mitad de su ordenada. Debo hallar las ecuaciones de la parábola, con dos posibles soluciones.

Espejo parabólico en relación al eje vertical

Simetría de una parábola

La parábola es simétrica respecto al eje y cuando en la expresión general b=0. En estos casos su representación puede simplificarse en la siguiente tabla, donde se pueden identificar dos constantes fundamentales.

Simulador de parábolas

Si deseas graficar cualquier tipo de parábola, puedes hacer uso de nuestro simulador de polinomios. Recuerda que en la simulación, los coeficientes constantes a, b y c corresponden a a2, a1 y a0 respectivamente.

Introducción

Existen también parábolas rotadas, las cuales pueden ser graficadas utilizando programas de computadora.

Por ejemplo, si queremos representar el conjunto de puntos que cumple la ecuación ({x^2} + 2xy + {y^2} + 2x – 2y = 0), obtendremos la siguiente gráfica:

Para comprobar que esta gráfica corresponde a una parábola, tenemos que utilizar los conceptos de autovalores y autovectores, los cuales serán explicados en detalle en la Unidad 8: Aplicaciones de la diagonalización.

Las raíces de una parábola vertical

Una parábola vertical se puede expresar con la ecuación y = ax^2 + bx + c. Los puntos de esta parábola con ordenada nula (y = 0) son las raíces, es decir, donde la parábola corta al eje de ordenadas OX.

Ya que la ordenada es igual a 0 en el punto de corte con OX, podemos expresar que las raíces son soluciones de una ecuación de segundo grado (función cuadrática).

Además, el eje de simetría de la parábola, que es el punto medio entre las dos raíces, coincide con el punto de ordenada del vértice de la parábola vertical.