La paradoja de la rueda de Aristóteles: explicación y análisis
Respecto a la sorprendente situación de las ruedas que aparentan rotar en dirección opuesta en ciertas películas, presentada la semana pasada, he aquí el testimonio de nuestro "destacado usuario" Rafael Granero:
Historia de la paradoja
En la historia antigua, el dilema de la rueda fue mencionado en la Mecánica aristotélica y en la Mecánica de Herón de Alejandría. [1] En la primera, se presenta como "Problema 24" y se describe de la siguiente manera.
Se plantea que, para aumentar el tamaño del círculo ΔZΓ, se debe reducir el del EHB, con el centro A en común. La línea ZI se extiende de manera natural, mientras que HK se acorta hasta ser igual a ZΛ. Al mover el círculo más pequeño, también se mueve A, lo que permite que el más grande se adhiera. Cuando AB se coloca perpendicular a HK, AΓ también se coloca perpendicular a ZΛ. Así, se asegura que siempre se completará una distancia igual, es decir, HK para la circunferencia HB y ZΛ para...
No obstante, debido a la ausencia de un punto de parada entre el círculo mayor y el menor, el primero permanece en un punto mientras que el segundo se desplaza sin saltar ningún punto. Es sorprendente que el mayor recorra un camino igual al del menor, y viceversa. Además, llama la atención que, aunque solo hay un tipo de movimiento en cada caso, el centro en movimiento recorre una gran distancia en uno y una distancia...
Durante siglos, en el ámbito de la Mecánica, el problema de la rueda fue abordado por filósofos como Aristóteles y Herón de Alejandría. [1] El primero lo describió como "Problema 24", detallando su funcionamiento de la siguiente manera.
Se propuso que, para aumentar el tamaño del círculo ΔZΓ, era necesario disminuir el del EHB, teniendo en cuenta que el centro A era compartido. Mientras la línea ZI se extendía de manera natural, HK se acortaba hasta igualar a ZΛ. Al mover el círculo más pequeño, también se movía A, permitiendo que el más grande se adhiriera. Una vez que AB se colocaba perpendicular a HK, AΓ también se colocaba perpendicular a ZΛ. De esta forma, se lograba que siempre se completara una distancia igual, es decir, HK para la circunferencia HB y ZΛ para...
Pero, dado que no había un punto de detención entre el círculo mayor y el menor, el primero permanecía en un punto mientras el segundo se desplazaba sin saltar ningún punto. Resultaba sorprendente que el mayor recorriera un camino igual al del menor, y viceversa. Además, se destacaba que aunque solo había un tipo de movimiento en cada caso, el centro en movimiento recorría una gran distancia en uno y una distancia...
Análisis y soluciones
La ironía radica en que el círculo pequeño, de radio r, se desplaza a lo largo de la circunferencia del círculo más grande, de radio R, que equivale a 2πR. Si el círculo pequeño se moviera independiente, su trayectoria sería 2πr, su propia circunferencia.
Sin embargo, al estar unido rígidamente al círculo más grande, esta medida de 2πr resulta engañosa.
En el primer caso, la dependencia del círculo pequeño respecto al grande, hace que este último arrastre al primero a través de su propia circunferencia. Mientras que en el segundo caso, la dependencia se invierte y el círculo pequeño obliga al círculo más grande a atravesar su propia circunferencia. Esta es la explicación más simple.
Esta solución se centra en el cambio desde la posición inicial hasta la final. Supongamos que Pb es un punto en el círculo más grande y Ps un punto en el círculo más pequeño, ambos con el mismo radio. Para mayor comodidad, imaginemos que se encuentran directamente debajo del centro, como las manecillas de un reloj señalando las seis. A medida que ambos avanzan juntos una vuelta completa, Pb y Ps seguirán una trayectoria cicloidal. Puedes ver ambas trayectorias aquí: Cicloide y Curteticicloide.
